Calcula la integral
\[ \int \tan^3(x) \; dx \]
Escribe el integrando \( \tan^3(x) \) como el producto \( \tan x \tan^2 x \)
\[ \int \tan^3(x) \; dx = \int \tan x \tan^2 x ; dx \]
Usa la identidad trigonométrica \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) para escribir la integral como sigue
\[ \int \tan^3(x) \; dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) \; dx \]
Expande el integrando y reescribe la integral como una diferencia de integrales
\[ \int \tan^3(x) \; dx = \int \tan x \sec^2 x \; dx - \int \tan x \; dx \]
Usa la Integración por Sustitución en \( \displaystyle \int \tan x \sec^2 x \; dx \) :
Sea \( u = \tan x \) y por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) o \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} du \) para escribir
\[ \int \tan^3(x) \; dx = \int u \; \sec^2 x \; \dfrac{1}{\sec^2 x} du - \int \tan x \; dx \]
Simplifica
\[ \int \tan^3(x) \; dx = \int u du - \int \tan x \; dx \]
Evalúa usando las fórmulas de integrales \( \displaystyle \int u^2 du = (1/3) u^3 \) y la integral común \( \displaystyle \int \tan x \; dx = \ln |\sec x| \) para escribir
\[ \int \tan^3(x) \; dx = \dfrac{1}{2} u^2 - \ln |\sec x| + c \]
Sustituye de vuelta \( \displaystyle u = \tan x \) para obtener la respuesta final
\[ \boxed { \int \tan^3(x) \; dx = \dfrac{1}{2} \tan^2 x - \ln |\sec x| + c } \]
